完璧なゼッケンの付け方｜両面テープで“ばたつきゼロ“

0) 前提と記号

• ランの基準速度：v₀ = 4:00/km = 4.1667 m/s
• 距離：D = 42,195 m → 基準タイム T₀ = D/v₀ = 10,126.8 s（2:48:46.8）
• 空気密度：ρ = 1.225 kg/m³（海面・15℃相当）
• 無風時の出力に占める空気抵抗の割合：f₀ ∈ {1.5%, 3.0%}
• 向かい風：w ∈ {0, 2, 5, 10} m/s
• ゼッケンのばたつき抑制で CdA（空気抵抗係数×投影面積）が Δ だけ低減すると仮定
• 近似：内部（代謝・機械）パワーは小変化域で速度に比例、空気抵抗パワーは相対風速³に比例

P_int(v)  = C · v
P_drag(v,w) = K · (v + w)^3

1) 「30 mphで17 W節約」→ CdA低減率 Δ に変換（自転車→ランへ横持ち）

Nopinzの「30 mphで17 Wのドラッグ節約」を、CdAの割合低下に置き換える。代表 CdA_cyc = 0.25 m² を仮定：

v_cyc = 30 mph = 13.4112 m/s
P_drag = 0.5 · ρ · CdA_cyc · v_cyc^3
       ≈ 0.5 · 1.225 · 0.25 · (13.4112)^3
       ≈ 369.36 W
Δ = 17 / 369.36 ≈ 0.0460（＝4.60%）

したがって CdAが約4.6%低減に相当。これは本記事では“上限目安”として扱う（ランのゼッケン単体で常に再現されるとは限らない）。

2) ランのモデルをキャリブレーション

無風で v₀ を走るとき総出力＝1（規格化）とし、

P_drag,0 = f₀,    P_int,0 = 1 - f₀
C · v₀ = 1 - f₀  →  C = (1 - f₀) / v₀
K · v₀^3 = f₀    →  K =  f₀ / v₀^3

向かい風 w でv₀を維持するための基準総出力（＝その風で4:00/kmを維持する努力量）

P_tot(w) = C · v₀ + K · (v₀ + w)^3

3) CdA低減後の速度を解く（努力量一定）

CdAが Δ だけ下がると、空気抵抗パワーは (1 − Δ)·K·(v + w)^3。努力量を P_tot(w) に固定したまま新しい速度 v を満たす：

【方程式】  C · v + (1 − Δ) · K · (v + w)^3 = P_tot(w)
【タイム】  T = D / v
【短縮秒】  ΔT = D / v₀ − D / v

4) 代表代入（f₀=3%、w=5 m/s、Δ=0.0460）

v₀ = 4.1667
f₀ = 0.03 → C = 0.97 / 4.1667 ≈ 0.2328
           K = 0.03 / 4.1667^3 ≈ 4.147e-4
P_tot(5) = 0.2328·4.1667 + 4.147e-4·(9.1667)^3 ≈ 1.28944

解く： 0.2328·v + (1−0.0460)·4.147e-4·(v+5)^3 = 1.28944
→ v ≈ 4.2108 m/s
T = 42195 / 4.2108 ≈ 10,020.62 s
短縮 ≈ 10,126.8 − 10,020.62 ≈ 106.18 s（= 1分46秒）

同様に w=0/2/10 と f₀=1.5%/3.0% で解いた一覧が CSV marathon_savings_from_17W_cyclingCdA_0.25.csv。

• 無風：6.8 〜 13.2 s
• 2 m/s：20.9 〜 39.0 s
• 5 m/s：62.0 〜 106.1 s
• 10 m/s：181.9 〜 271.3 s

5) 一般式（まとめ）

① 30 mph → Δ（CdA%低減）
   Δ = 17 / [ 0.5 · ρ · CdA_cyc · (30·0.44704)^3 ]   （ここでは CdA_cyc = 0.25）
② ランの係数
   C = (1 − f₀) / v₀,     K = f₀ / v₀^3
③ 基準努力量（その風で4:00/kmを維持）
   P_tot(w) = C · v₀ + K · (v₀ + w)^3
④ 新速度 v（努力一定）
   C · v + (1 − Δ) · K · (v + w)^3 = P_tot(w)
⑤ 短縮秒
   ΔT = D/v₀ − D/v

データ

• 空気抵抗モデルCSV v3：ダウンロード
• 30mph → CdA% 換算表：ダウンロード
• 代表ケース（CdA=0.25→Δ4.6%）結果：ダウンロード

注意（モデルの性格）

Δ=4.6%は自転車の背番号処理規模＝ランのゼッケン単体では上限寄り。本文はCdA 1〜2%を主張の柱に。

努力量一定：その風で4:00/kmを維持できる出力を予算に固定して比較。

内部パワー∝速度はマラソン域の小変化での近似。